En su teoría de la gravitación universal Isaac Newton (1642-1727) explicó las leyes de
Kepler y, por tanto, los movimientos celestes, a partir de la existencia de una
fuerza, la fuerza de la gravedad, que actuando a distancia produce una
atracción entre masas. Esta fuerza de gravedad demostró que es la misma fuerza
que en la superficie de la Tierra denominamos peso.
Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene
la dirección de la recta que une los centros de los astros y el sentido
corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al
producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la
distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina
constante de gravitación universal.
https://www.youtube.com/watch?v=A-TuI3FEh1A
Newton consiguió explicar con su fuerza de la
gravedad el movimiento elíptico de los planetas. La fuerza de la gravedad sobre
el planeta de masa m va dirigida al foco, donde se halla el Sol, de masa M, y
puede descomponerse en dos componentes:
·
existe una componente
tangencial (dirección tangente a la curva elíptica) que produce el efecto
de aceleración y desaceleración de los planetas en su órbita (variación del
módulo del vector velocidad);
·
la componente
normal, perpendicular a la anterior, explica el cambio de dirección del
vector velocidad, por tanto la trayectoria elíptica. En la figura adjunta se
representa el movimiento de un planeta desde el afelio (B) al perihelio (A), es
decir, la mitad de la trayectoria dónde se acelera. Se observa que existe una
componente de la fuerza, la tangencial que tiene el mismo sentido que la
velocidad, produciendo su variación.
En los cursos elementales de
física se estudia la gravedad, a partir de la teoría de Newton, suponiendo que
la estrella se halla en reposo y los planetas giran a su alrededor con
movimiento circular uniforme. Se indica que en realidad la trayectoria es elíptica
aunque en el sistema solar las órbitas son casi circulares. Sin embargo no se
comenta, generalmente, que también se realiza otra aproximación: se supone que
la masa del Sol es mucho mayor que las de los planetas, que se cumple en
nuestro sistema solar. Pero si orbitan dos cuerpos masivos, o sea, dos
estrellas (estrellas binarias) o una estrella y un planeta masivo, se describe
mejor su movimiento tomando como referencia el centro de masas de ambos
cuerpos. En este caso, estrella y planeta, orbitan alrededor del centro de
masas.
Supongamos el sistema de la
figura formado por una estrella de masa M* y un planeta de masa m.
Consideremos, para simplificar, movimientos circulares y uniformes. Nombremos
la distancia que separan el planeta del centro de masas (CM) como a y la distancia que separa la
estrella del centro de masas (CM) como r*. Ambos cuerpos se mueven con
velocidades lineales constantes, v el planeta y v* la estrella.
Definamos ahora el centro de
masas: En general para un conjunto de n cuerpos la posición del centro de masas
(XCM, YCM, ZCM) viene dado por la expresión,
en coordenadas rectangulares o cartesianas (x, y, z):
Como nuestro problema se
limita a movimientos en un plano (el de la órbita) y con trayectoria circular
usaremos un sistema de coordenadas polares (r, q) con origen en la misma
posición del centro de masas, o sea rCM = 0, y tomando el eje polar hacia el planeta en
la posición actual. Calculemos, a partir de la figura, rCM, tendremos:
La 1ª ley de la dinámica de Newton indica que un sistema sobre el que
no actúen fuerzas externas se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme (o estará
en reposo) respecto de un sistema inercial. Por ello el sistema
estrella-planeta debe cumplir esta ley ya que las fuerzas que actúan son
internas (la gravedad). Y será el centro de masas del sistema que deberá
moverse con movimiento rectilíneo y uniforme.
Las velocidades angulares de
ambos cuerpos respecto del centro de masas deben ser iguales (ver animación) para que se conserve su posición relativa, de donde deducimos que también serán iguales los periodos (T* periodo de la
estrella y T periodo del planeta):
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